\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第十一章\quad 曲线积分与曲面积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第一节\quad 对弧长的曲线积分}
\graphicspath{{./images}}

\begin{document}


\section{对弧长的曲线积分的概念与性质}

\begin{frame}{曲线形构件的质量}

在设计曲线形构件时， 为了合理使用材料， 应该根据构件各部分受力情况， 把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。 因此， 可以认为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量。假设这构件所处的位置在 $x O y$ 面内的一段曲线弧 $L$ 上， 它的端点是 $A, B$, 在 $L$ 上任一点 $(x, y)$ 处， 它的线密度为 $\mu(x, y)$. 现在要计算这构件的质量 $m$ （图 11-1）。
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-01}
\caption*{图 11-1}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{frame}
如果构件的线密度为常量， 那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积。
\pause
现在构件上各点处的线密度是变量， 就不能直接用上述方法来计算。 
\pause
为了克服这个困难， 可以用 $L$ 上的点 $M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1}$ 把 $L$ 分成 $n$ 个小
段， 取其中一小段构件 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 来分析。 
\pause
在线密度连续变化的前提下， 只要这小段很短，
 就可以用这小段上任一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度， 从而得到这小段构件的质量的近似值为
 \[
 \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i},
 \]
 其中 $\Delta s_{i}$ 表示 $\overparen{M_{i-1} M_{i}}$ 的长度， 于是整个曲线形构件的质量
 \[
   m \approx \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}.
 \]
 \pause
 用 $\lambda$ 表示 $n$ 个小弧段的最大长度。
\pause
 为了计算 $m$ 的精确值，取上式右端之和当 $\lambda \rightarrow 0$时的极限， 从而得到
 \[
   m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}.
 \]
 \end{frame}

 \begin{frame}{弧长的曲线积分的定义和性质}

 这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。现在引进下面的定义：

 \pause
 \begin{definition*}
   设 $L$ 为 $x O y$ 面内的一条光滑曲线弧， 函数 $f(x, y)$ 在 $L$ 上有界。 
\pause
   在 $L$ 上任意插入一点列 $M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1}$ 把 $L$ 分成 $n$ 个小段。 
\pause
   设第 $i$ 个小段的长度为 $\Delta s_{i}$. 又 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 为第 $i$个小段上任意取定的一点， 作乘积 $f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}$ ($i=1,2, \cdots, n$), 
\pause
   并作和 $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}$,
   \pause
   如果当各小弧段的长度的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与曲线弧 $L$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 的取法无关， 那么称此极限为函数 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上\emph{对弧长的曲线积分}或\emph{第一类曲线积分}， 
\pause
   记作 $\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s$, 
\pause
   即
 \[
 \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i},
 \]
 \pause
 其中 $f(x, y)$ 叫做\emph{被积函数}， $L$ 叫做\emph{积分弧段}。
 \end{definition*}
 \pause
 在第二目中我们将看到， 当 $f(x, y)$ 在光滑曲线弧 $L$ 上连续时， 对弧长的曲线积分 $\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s$ 是存在的。 以后我们总假定 $f(x, y)$ 在 $L$ 上是连续的。
 \end{frame}

 \begin{frame}
  根据这个定义，前述曲线形构件的质量 $m$ 当线密度 $\mu(x, y)$ 在 $L$ 上连续时， 就等于 $\mu(x, y)$ 对弧长的曲线积分， 即
  \[
  m=\int_{L} \mu(x, y) \mathrm{d} s .
\]

\pause
上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧 $\Gamma$ 的情形，即函数 $f(x, y, z)$在曲线弧 $\Gamma$ 上对弧长的曲线积分
\[
\int_{\Gamma} f(x, y, z) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}\right) \Delta s_{i} .
\]

\pause
如果 $L$ (或 $\Gamma$) 是分段光滑的%
\footnote{就是说， $L$ (或 $\Gamma$) 可以分成有限段，而每一段都是光滑的。 以后我们总假定 $L$ (或 $\Gamma$) 是光滑的或分段光滑的。}， 我们规定函数在 $L$ (或 $\Gamma$) 上的曲线积分等于函数
在光滑的各段上的曲线积分之和。 
\pause
例如， 设 $L$ 可分成两段光滑曲线弧 $L_{1}$ 及 $L_{2}$ (记作 $L=L_{1}+L_{2}$ ), 就规定
\[
\int_{L_{1}+L_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s+\int_{L_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s
\]

\pause
如果 $L$ 是闭曲线， 那么函数 $f(x, y)$ 在闭曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分记为 
\[
  \oint_{L} f(x, y) \mathrm{d} s.
\]

\pause
由对弧长的曲线积分的定义可知， 它有以下性质：
\end{frame}


\begin{frame}

 \pause
  \begin{proposition*}[性质 1] 设 $\alpha, \beta$ 为常数， 则
   \[
    \int_{L}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} s=\alpha \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s+\beta \int_{L} g(x, y) \mathrm{d} s .
   \]
  \end{proposition*}

  \pause
 \begin{proposition*}[性质 2]
    若积分弧段 $L$ 可分成两段光滑曲线弧 $L_{1}$ 和 $L_{2}$, 则
    \[
      \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s+\int_{L_{2}} f(x, y) \mathrm{d} s
  \]
\end{proposition*}

\pause
\begin{proposition*}[性质 3]
  设在 $L$ 上 $f(x, y) \leqslant g(x, y)$, 则
 \[
  \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s \leqslant \int_{L} g(x, y) ~\mathrm{d} s
 \]
  \end{proposition*}
  \pause
特别地， 有
\[
\left|\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s\right| \leqslant \int_{L}|f(x, y)| \mathrm{d} s
\]
\end{frame}


\section{对弧长的曲线积分的计算法}

\begin{frame}{对弧长的曲线积分的计算法}
  \begin{theorem*}
  设 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上有定义且连续， $L$ 的参数方程为
  \[
    \left\{\begin{array}{l}
          x=\varphi(t), \\
          y=\psi(t)
    \end{array} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\right.
\]
若 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数， 且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0$, 则曲线积分 $\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s$ 存在， 且
\[\tag{1-1}
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t), \psi(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \quad(\alpha<\beta) .
\]
\end{theorem*}
\pause
\begin{proof}
假定当参数 $t$ 由 $\alpha$ 变至 $\beta$ 时， $L$ 上的点 $M(x, y)$ 依点 $A$ 至点 $B$ 的方向描出曲线弧 $L$. 在 $L$ 上取一列点
\[
A=M_{0}, M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1}, M_{n}=B \text {, }
\]
它们对应于一列单调增加的参数值
\[
\alpha=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{n-1}<t_{n}=\beta .
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
  根据对弧长的曲线积分的定义， 有
  \[
  \int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta s_{i}
\]
设点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 对应于参数值 $\tau_{i}$, 即 $\xi_{i}=\varphi\left(\tau_{i}\right), \eta_{i}=\psi\left(\tau_{i}\right)$, 这里 $t_{i-1} \leqslant \tau_{i} \leqslant t_{i}$. 由于
\[
\Delta s_{i}=\int_{t_{i-1}}^{t_{i}} \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t
\]
应用积分中值定理，有
\[
\Delta s_{i}=\sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)} \Delta t_{i},
\]
其中 $\Delta t_{i}=t_{i}-t_{i-1}, t_{i-1} \leqslant \tau_{i}^{\prime} \leqslant t_{i}$. 于是
\[
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left[\varphi\left(\tau_{i}\right), \psi\left(\tau_{i}\right)\right] \sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_{i}^{\prime}\right)} \Delta t_{i} .
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
由于函数 $\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续， 
我们可以把上式中的 $\tau_{i}^{\prime}$ 换成 $\tau_{i}$%
\footnote{它的证明要用到函数 $\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上的一致连续性， 这里从略。}, 
从而
\[
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left[\varphi\left(\tau_{i}\right), \psi\left(\tau_{i}\right)\right] \sqrt{\varphi^{\prime 2}\left(\tau_{i}\right)+\psi^{\prime 2}\left(\tau_{i}\right)} \Delta t_{i} .
\]
上式右端的和的极限就是函数 $f[\varphi(t), \psi(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上的定积分， 因为这个函数在 $[\alpha, \beta]$ 上连续， 所以这个定积分是存在的， 因此上式左端的曲线积分 $\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s$ 也存在， 并且有
\[\tag{1-1}
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t), \psi(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \quad(\alpha<\beta) .
\]
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
公式 (1-1) 表明， 计算对弧长的曲线积分 $\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s$ 时， 只要把 $x, y, \mathrm{~d} s$ 依次换为 $\varphi(t), \psi(t), \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$, 然后从 $\alpha$ 到 $\beta$ 作定积分就行了。
\pause
这里必须注意， \emph{定积分的下限 $\alpha$ 一定要小于上限 $\beta$}. 
\pause
这是因为， 从上述推导中可以看出， 由于小弧段的长度 $\Delta s_{i}$ 总是正的， 从而 $\Delta t_{i}>0$, 所以定积分的下限 $\alpha$ 一定小于上限 $\beta$.

~

\pause
如果曲线弧 $L$ 由方程
\[
y=\psi(x) \quad\left(x_{0} \leqslant x \leqslant X\right)
\]
给出， 那么可以把这种情形看做是特殊的参数方程
\[
x=t, \quad y=\psi(t) \quad\left(x_{0} \leqslant t \leqslant X\right)
\]
的情形， 从而由公式 (1-1) 得出
\[\tag{1-2}
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{x_{0}}^{X} f[x, \psi(x)] \sqrt{1+\psi^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x \quad\left(x_{0}<X\right) .
\]
\end{frame}


\begin{frame}

类似地，如果曲线弧 $L$ 由方程
\[
x=\varphi(y) \quad\left(y_{0} \leqslant y \leqslant Y\right)
\]
给出， 那么有
\[\tag{1-3}
\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{y_{0}}^{Y} f[\varphi(y), y] \sqrt{1+\varphi^{\prime 2}(y)} \mathrm{d} y \quad\left(y_{0}<Y\right) .
\]

~

\pause
公式(1-1) 可推广到空间曲线弧 $\Gamma$ 由参数方程
\[
x=\varphi(t), \quad y=\psi(t), \quad z=\omega(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)
\]
给出的情形，这时有
\[
\int_{\Gamma} f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_{\alpha}^{\beta} f[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)+\omega^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \quad(\alpha<\beta) .
\]
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $\int_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s$, 其中 $L$ 是抛物线 $y=x^{2}$ 上点 $O(0,0)$ 与点 $B(1,1)$ 之间的一段弧(图 11-2).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-05}
\caption*{图 11-2}
\pause
\end{wrapfigure}
由于 $L$ 由方程 $y=x^{2}$ ($0 \leqslant x \leqslant 1$) 给出， 因此
\begin{align*}
  \int_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s&= \int_{0}^{1} \sqrt{x^{2}} \sqrt{1+\left(x^{2}\right)^{\prime 2}} \mathrm{~d} x\\
  &= \int_{0}^{1} x \sqrt{1+4 x^{2}} \mathrm{~d} x\\
  &= \left[\frac{1}{12}\left(1+4 x^{2}\right)^{3 / 2}\right]_{0}^{1}\\
  &= \frac{1}{12}(5 \sqrt{5}-1) .
\end{align*}
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算半径为 $R$ 、中心角为 $2 \alpha$ 的圆弧 $L$ 对于它的对称轴的转动惯量 $I$ (设线密度 $\mu=1$ ).
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_5cd341c5df1df7f4d312g-05(1)}
  \caption*{图 11-3}
  \pause
\end{wrapfigure}
取坐标系如图 11-3 所示， 则
\[
I=\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s .
\]
\pause
为了便于计算，利用 $L$ 的参数方程
\[
x=R \cos \theta, \quad y=R \sin \theta \quad(-\alpha \leqslant \theta \leqslant \alpha) .
\]
于是
\[
  \begin{aligned}
    I & =\int_{L} y^{2} \mathrm{~d} s=\int_{-\alpha}^{\alpha} R^{2} \sin ^{2} \theta \sqrt{(-R \sin \theta)^{2}+(R \cos \theta)^{2}} \mathrm{~d} \theta \\
  & =R^{3} \int_{-\alpha}^{\alpha} \sin ^{2} \theta \mathrm{d} \theta=\frac{R^{3}}{2}\left[\theta-\frac{\sin 2 \theta}{2}\right]_{-\alpha}^{\alpha}\\
  &= \frac{R^{3}}{2}(2 \alpha-\sin 2 \alpha)=R^{3}(\alpha-\sin \alpha \cos \alpha) .
\end{aligned}
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  计算曲线积分 $\int_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s$, 其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=k t$上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧。
\end{example}
\pause
\begin{solution}
  \[
      \begin{aligned} & \int_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s \\ = & \int_{0}^{2 \pi}\left[(a \cos t)^{2}+(a \sin t)^{2}+(k t)^{2}\right] \sqrt{(-a \sin t)^{2}+(a \cos t)^{2}+k^{2}} \mathrm{~d} t \\ = & \int_{0}^{2 \pi}\left(a^{2}+k^{2} t^{2}\right) \sqrt{a^{2}+k^{2}} \mathrm{~d} t=\sqrt{a^{2}+k^{2}}\left[a^{2} t+\frac{k^{2}}{3} t^{3}\right]_{0}^{2 \pi} \\ = & \frac{2}{3} \pi \sqrt{a^{2}+k^{2}}\left(3 a^{2}+4 \pi^{2} k^{2}\right) .\end{aligned}
  \]
\end{solution}
\end{frame}

\end{document}
